对勾函数研究学习论文

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浅谈形如yaxb/x函数的性质及其应用 摘要探讨函数yaxb/x(主要是在a·b>0的情况下)的函数一般性质和特性,调查出函数的简单应用。通过小组合作、网络调查、文献研究等多种手段。得出结论,对号函数是特殊的双曲线,也具有焦点、渐近线、离心率等。 关键字特殊双曲线、函数性质 应用 一,课题背景 关于函数yaxb/x的性质及在数学中和现实生活中的应用等问题的探讨。 二,课题目的 此次研究性学习主要是要通过小组合作的方式,自主探究出函数yaxb/x(主要是在a·b>0的情况下)的函数一般性质和特性,调查出函数的简单应用。重点研究在关于函数yaxb/x性质的探究,然后利用互联网等多媒体手段,了解yaxb/x函数在日常生活中解决的问题。 这次团队合作方式的研究性学习,旨在增强各成员间的合作能力和表达沟通能力;同时,也将培养我们对于数学问题的理解、解决能力,提升我们的逻辑抽象思维能力。 三,课题研究方法 此次研究性学习主要是通过小组合作的方式,自主探究出函数yaxb/x(主要是在a·b>0的情况下)的函数一般性质和特性,调查出函数的简单应用。重点研究在关于函数yaxb/x性质的探究,然后利用互联网等多媒体手段,了解yaxb/x函数在日常生活中解决的问题。 四,课题研究过程 参照平时老师教学过程中关于函数的探究思路,我们决定先对a,b进行讨论。 当a0,b0时 函数yaxb/x即为X轴 当a0,b≠0时 函数yaxb/x为双曲线 当a≠0,b0时 函数yaxb/x即为直线 当a≠0,b≠0时 函数yaxb/x是以yax和y轴为渐近线的双曲线 用几何做图方法画出函数yx1/x和yx3/x的图像。从函数图像上,观察得到函数的单调性、对称性,以及函数大致的值域和定义域。为了获取函数精确的值域和定义域,我们使用了基本不等式的相关知识。 以yx1/x为例,其单调性为[-1,0)和(0,1]区间上,函数是递减的;在(-∞,-1)和(1,∞)区间上,函数是递减的 对称性该函数图像是以原点为对称中性的中心对称图形。 值域(-∞,-2]∪[2,∞] 定义域(-∞,0)∪(0,∞)。 在掌握函数在特殊取值情况下的一般性质之后,我们从互联网上搜索到关于函数yaxb/x的相关内容。我们了解到yaxb/x这样的函数叫对号函数,别名耐克函数,图像为 五,课题研究结果 yaxb/x性质的总结。(主要为a>0,b>0时的性质) 定义域 (-∞,0)∪(0,∞) 值域 (-∞,-2「ab]∪[2「ab,∞) 对称性 关于原点O对称 单调性 ①(0,「b/a」∪(-「b/a,0),函数是递减的 ②(-∞,-「b/a)∪(「b/a,∞),函数递增的 最值 ① x<0,当x-「b/a时,ymax-2「ab ② x>0,当x「b/a,ymin2「ab 特殊性质 函数图像无限接近于直线x0和yax 从特殊性推广到一般性。我们参照从网上得到的信息总结了以下表格中的部分性质。 特殊性质 ①对号函数是双曲线旋转得到的。同双线一样也有渐近线,顶点等。 (以yx1/x为例其方程为rsinα=rcosα1/rcosα,逆时针旋转22.5度后为rsinα-π/8=rcosα-π/81/rcosα-π/8,化简即得,其实半轴平方为21/22,虚半轴平方为21/2-2,离心率平方为4-21/2) 基于对号函数的以上性质,它常用于研究函数的最值和恒成立问题。例如对于函数f(x)12/x3x的x<0时最大值,x>0时最小值可轻易由对号函数的性质可以知道x<0时,ymax-6。 x>0时ymin6.当然这只是在数学中的简单而又基本的应用,稍复杂的应用会在与求含两个变量的最值如已知正数x,y满足8/x1/y1,求x2y的最小值。 运用对号函数的以上性质,在解决数学问题时会很简单。在解决生产科研和日常生活的问题上,对号函数也可为是功劳不小。例如①某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元。求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少 (1)设该厂应每隔x太难购买一次面粉,其购买量为6x吨,由题意知,面粉的保管等其他费用为3[6x6x-16*26*1]9x(x1)。 设平均每天所支付的总费用为y元,则y1/x[9xx1900]6*1800900/x 9x10809利用对号函数的性质可知当x10时,取得最小值10989.即该厂应每隔10天购买一次面粉,才能是平均每天所支付的总费用最少。 在解决该试剂问题时,无非是建立对号函数模型,然后再利用函数性质解决。再如 ② 经观测,某公路段在某时段内的车流量y千辆/小时与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y920v/v²3v1600(v>0) ⑴在该时段时,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大最大车流量为多少 ⑵为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内 解决问题思路,大同小异。 六,对勾函数在数学中的应用 在求函数的最值或值域时,有些函数不能用均值不等式,主要是由于等号不成立,而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质,使这类题目在解题中显得简便而准确。 函数(a0,b0)叫做对号函数,因其在(0,∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x0时,(当且仅当即时取等号),由此可得函数(a0,b0,x∈R)的性质 当时,函数(a0,b0,x∈R)有最小值,特别地,当ab1时函数有最小值2。函数(a0,b0)在区间(0,)上是减函数,在区间(,∞)上是增函数。 因为函数(a0,b0)是奇函数,所以可得函数(a0,b0,x∈R-)的性质 当时,函数(a0,b0,x∈R-)有最大值-,特别地,当ab1时函数有最大值-2。函数(a0,b0)在区间(-∞,-)上是增函数,在区间(-,0)上是减函数。 利用对号函数以上性质,在解某些数学题时很简便,下面举例说明 1、求函数的最小值。 解令,则 根据对号函数在(1,∞)上是增函数及t的取值范围,当时y有最小值。此时x-1. 2、求函数的单调区间,并求当时函数的最小值。 解令tsinx,对号函数在(0,)上是减函数,故当时sinx是增函数,所以在上是减函数。同理,在上是增函数,由于函数是奇函数,所以函数在上是减函数,在上是增函数,由周期性,函数在每一个区间上是减函数,在每一个区间上是减函数;函数在每一个区间上是增函数,在每一个区间上是增函数。当时,当t1时即时y有最小值3。 3、求函数的单
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